Menentukan KPK ( Kelipatan Persekutuan terkecil )

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Kelipatan Bilangan
Kelipatan suatu bilangan merupakan bilangan-bilangan hasil penjumlahan dengan bilangan yang sama secara terus menerus atau hasil perkalian bilangan tersebut dengan bilangan asli.

Kita telah mengenal operasi hitung penjumlahan dan perkalian bilangan. Operasi-operasi hitung yang telah dipelajari tersebut sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari. Dengan menguasai operasi hitung juga bermanfaat untuk kegiatan pembelajaran selanjutnya. Operasi hitung tersebut harus benar-benar dipahami karena akan digunakan dalam mempelajari kelipatan dan faktor bilangan.

1. Menentukan Kelipatan Suatu Bilangan
Menentukan kelipatan suatu bilangan dapat dilakukan dengan menggunakan garis bilangan seperti di bawah ini.

Bilangan loncat 2 yang ditunjukkan tanda panah pada garis bilangan di atas. 2, 4, 6, 8, 10, dan seterusnya. Dari manakah bilangan-bilangan tersebut diperoleh? Mari kita selidiki bersamasama.
2 = 2 = 1 x 2
4 = 2 + 2 = 2 x 2
6 = 4 + 2 = 2 + 2 + 2 = 3 x 2
8 = 6 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4 x 2
10 = 8 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 x 2 dan seterusnya

Ternyata bilangan-bilangan tersebut diperoleh dengan menambahkan 2 dari bilangan sebelumnya atau mengalikan 2 dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Bilangan-bilangan seperti ini disebut bilangan kelipatan 2. Dengan cara yang sama dapat kita cari bilangan kelipatan 5 sebagai berikut.
5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 5 = 25
dan seterusnya Jadi, kelipatan 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, dan seterusnya.

Perhatikan garis bilangan di bawah ini.

Bilangan-bilangan kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …
Bilangan-bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
Bilangan-bilangan yang sama dari kelipatan kedua bilangan tersebut adalah 6, 12, 18, 24, …
Bilangan-bilangan 6, 12, 18, 24, … disebut kelipatan persekutuan dari 2 dan 3.

Mari kita cari kelipatan persekutuan dari bilangan 4 dan 6.
Kelipatan 4 adalah 4, 8, 12 , 16, 20, 24 , 28, 32, 36 , 40, 48 …
Kelipatan 6 adalah 6, 12 , 18, 24 , 30, 36 , 42, 48 , 54, 60, …
Kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah 12, 24, 36, 48, …

Berapakah kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 yang paling kecil? Bilangan itulah yang disebut KPK dari 4 dan 6. Jadi, diperoleh KPK dari 4 dan 6 adalah 12.

KPK dari 12 dan 15 adalah:
Kelipatan 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, ...
Kelipatan 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, ...
Kelipatan dari 12 dan 15 yang sama diatas adalah 60, 120, dan seterusnya.
Karena kita mencari yang terkecil, maka KPK dari 12 dan 15 adalah 60.

Apabila angka yang akan dicari KPKnya besar, maka cara diatas sulit dipakai. Ada cara yang lebih mudah lagi dibandingkan cara di atas, yaitu dengan cara menggunakan faktorisasi prima.

Misalkan yang ingin dicari faktorisasi primanya angka 60. Nah, kita cari bilangan prima terkecil yang bisa membagi angka 60. Bilangan prima terkecil yang bisa membagi 60 adalah 2. Lalu bagilah 60 dengan 2. Didapatkan angka 30. Lalu cari bilangan prima terkecil yang bisa membagi angka 30, yaitu 2. Lalu bagi 30 dengan 2. Didapatkan 15. Begitu terus, sampai angkanya tidak bisa dibagi lagi dengan bilangan prima apapun. Hal ini dapat dijelaskan dengan gambar di bawah ini.

Kemudian kumpulkan semua bilangan primanya, yaitu 2, 2, 3, dan 5. Apabila ada bilangan yang sama, jadikan dalam bentuk pangkat. Ada 2 buah angka 2. Jadi 2².
Jadi, faktorisasi prima dari 60 adalah 2² x 3 x 5.
Untuk mencari KPKnya, kalikan semua bilangan, lalu apabila ada bilangan yang sama, cari yang pangkatnya lebih tinggi.

Contoh: KPK 30 dan 36.
30 = 2 x 3 x 5
36 = 2² x 3²
Karena ada 2 buah angka 2 dan 3, cari yang pangkatnya lebih tinggi. Dalam
hal ini adalah 2² dan 3². Jadi KPK dari 30 dan 36 adalah 2² x 3² x 5 = 4 x 9 x 5 = 180

Menentukan KPK juga dapat dilakukan dengan cara tabel yaitu mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari KPKnya.

Contoh:
1. Tentukan KPK dari bilangan 16 dan 40

	16	40
2	8	20
2	4	10
2	2	5
2	1	5
5	1	1

KPK = 2 X 2 X 2 X 2 X 5
= 2⁴ X 5 = 80

2. Tentukan KPK dari bilangan 36 dan 64

	36	54
2	18	27
2	9	27
3	3	9
3	1	3
3	1	1

KPK = 2 X 2 X 3 X 3 X 3
= 2² X 3³ = 108

3. Tentukan KPK dari bilangan 10, 15 dan 25

	10	15	25
2	5	15	25
3	5	5	25
5	1	1	5
5	1	1	5

KPK = 2 X 3 X 5 X 5
= 2 X 3 X 5² = 150

Belajar KPK dengan Bermain Lompat Kodok
Belajar KPK dapat juga dilakukan dengan kegiatan permainan seperti di bawah ini.

Alat dan bahan

1.   Kertas warna merah dan kuning

2.  Spidol

3.   Selotip

4.  Gunting

5.   Batu

Langkah Permainan

1.   Guru membuat angka dari 120 pada potongan kertas warna merah dan kuning.

2.  Kertas angka-angka tersebut ditempelkan pada lantai yang bertegel secara berurutan sehingga membentuk petakan angka. Kertas merah di sebelah kanan dan kertas kuning di sebelah kiri.

3.   Guru membagi siswa menjadi 2 kelompok, kelompok merah dan kelompok kuning.

4.  Kelompok merah akan melewati petak-petak angka pada kertas merah, dan kelompok kuning akan melewati petak- petak angka pada kertas kuning.

5.   Siswa menjadi kodok-kodok yang harus melompati angka-angka tersebut. Setiap kodok mempunyai kemampuan melompat yang berbeda-beda. Ditunjukan dengan angka yang tertulis pada kertas yang di tempel di dada siswa.

6.  Perwakilan siswa kelompok merah dan kuning mulai melompat pada jalur masing-masing.

7.   Siswa yang melompat meninggalkan jejak pada petak yang diinjaknya dengan batu.

8.  Pertemuan pertama jejak (batu) kodok merah dan kuning adalah KPK.